Прямоугольного параллелепипеда определяется произведением. Формулы для нахождения объема параллелепипеда

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .

Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .

Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.

В данном уроке мы поговорим о прямоугольном параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Конспект урока "Объем прямоугольного параллелепипеда" На этом уроке мы поговорим о прямоугольном параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Ранее мы с вами уже познакомились с прямоугольным параллелепипедом. Напомним, что параллелепипед называетсяпрямоугольным, если все его шесть граней прямоугольники. Представление о форме прямоугольного параллелепипеда дают спичечный коробок, коробка, холодильник и др. Давайте представим себе, комнату, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Если говорить о её размерах, то обычно употребляют слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. На экране изображён прямоугольный параллелепипед качестве его измерений можно взять,например, длины рёбер эти рёбра имеют общую вершину параллелепипеда, – ширина и Прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами: 1) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. – это есть длина данного. Тогда ребро – его высота. . В и, все 2) объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Итак, справедлива следующая теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Докажем эту теорему. Пусть дан прямоугольный параллелепипед его измерения буквами Докажем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен, а его объём буквой. Обозначим и. , . Возможны два случая: Рассмотрим первый случай. Измерения десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит представляют собой конечные и (,). В этом случае числа, и являются целыми. Разделим каждое ребро параллелепипеда на равные части длины. Затем через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Тогда наш параллелепипед разобьётся на равные кубы с длиной каждого ребра. Общее же количество таких кубов будет равно. Так как объём каждого такого куба равен, то объём всего параллелепипеда будет равен. Этим мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Что и требовалось доказать. Перейдём ко второму случаю. Хотя бы одно из измерений собой бесконечную десятичную дробь. , и представляет Рассмотрим конечные десятичные дроби чисел с, -ой. , которые получаются из, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная Заметим, что тогда справедливо неравенство Аналогичные неравенства будут выполняться и для чисел, где и: . , где, . Перемножим эти неравенства. Тогда видим, что. Из неравенства понятно, что параллелепипед параллелепипед, а сам содержится в параллелепипеде содержит в себе. А это говорит о том, что. Теперь давайте будем неограниченно увеличивать становиться сколь угодно малым, и поэтому число мало отличаться от числа. . Тогда число будет будет сколь угодно В итоге, они станут равны. Т.е. . Что и требовалось доказать. Из этой теоремы справедливы следующие следствия. Первое следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Доказательство. Пусть грань с рёбрами прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь основания высота параллелепипеда и. является основанием, а Тогда можно заметить, что формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда – площадь основания, – высота прямоугольного параллелепипеда. можно записать в виде, где Таким образом, мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен. Что и требовалось доказать. Второе следствие. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Доказательство. Для доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму с основанием параллелепипеда так, как показано на экране. Учитывая первое следствие, объём этого параллелепипеда равен где – площадь основания) до прямоугольного (, – высота призмы. , разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна Плоскость из которых – данная. Эти призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты. Следовательно, объём данной призмы равен, т.е. равен доказать. Замечание. Рассмотрим квадрат со стороной а. . Что и требовалось Исходя из теоремы Пифагора его диагональ равна. Поэтому площадь построенного на ней квадрата вдвое больше площади данного квадрата. Таким образом, не составляет труда построить сторону квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата. Рассмотрим теперь куб со стороной а. Возникает вопрос: можно ли с помощью циркуля и линейки построить сторону куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба, т.е. построить отрезок, равный? Эта задача была сформулирована ещё в глубокой древности. Она получила название «задача об удвоении куба». Лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал, что такое построение невозможно. Одновременно им была доказана неразрешимость ещё одной задачи на построение – задачи о трисекции угла (произвольный данный угол разделить на три равных угла). Напомним, что к числу классических неразрешимых задач на построение относится также задача о квадратуре круга (построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Невозможность такого построения была доказана в 1882 году немецким математиком Карлом Луизом Фердинандом Линдеманом. Задача: найдите объём прямоугольного параллелепипеда с диагональю сторонами основания Решение: запишем формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через его измерения. см и см. см и Из условия задачи нам известны длина, ширина и диагональ прямоугольного параллелепипеда, но неизвестна его высота. Напомним, что. Выразим из этой формулы высоту что высота равна (см). прямоугольного параллелепипеда. Получим, и равна Подставим измерения нашего прямоугольного параллелепипеда в формулу объёма. Посчитаем. Получим, что объем параллелепипеда равен Не забудем записать ответ. (см3). Задача: квадрат. Объем прямоугольного параллелепипеда равен высоту прямоугольного параллелепипеда, если прямоугольный параллелепипед, основание – см3. Определите см. Решение: на этом уроке мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен. Выразим из формулы высоту. Отсюда, высота равна. Так как в основании нашего прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат по условию, то площадь основания равна объём прямоугольного параллелепипеда равен (см2). По условию задачи, также известно, что. Отсюда, высота (см). Запишем ответ. равна Итоги: На этом уроке мы вспомнили понятие прямоугольного параллелепипеда. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. А также доказали, что объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула

Упражнение 1 Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.

Упражнение 2 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 3. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 1, 5.

Упражнение 3 Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 2. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.

Упражнение 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Диагональ параллелепипеда равна 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.

Упражнение 6 Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в два раза? Ответ: В 8 раз.

Упражнение 9 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 10. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 2.

Упражнение 10 Ребро прямоугольного параллелепипеда равно 1. Диагональ равна 3. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.

Упражнение 12 Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен Ответ:

Упражнение 19 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2, 2 и 1. Его объем равен 4.

Упражнение 20 Параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его объем. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2. Его объем равен 8.

Упражнение 21 Найдите объем куба, вписанного в единичный октаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

Упражнение 22 Найдите объем куба, описанного около единичного октаэдра. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

Упражнение 23 Найдите объем куба, вписанного в единичный додекаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

Упражнение 24 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.

Упражнение 25 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.

Упражнение 27 Четыре грани параллелепипеда – прямоугольники со сторонами 1 и 2. Какой наибольший объем может иметь этот параллелепипед? Решение. Искомым параллелепипедом является прямоугольный параллелепипед, у которого две оставшиеся грани – квадраты со стороной 2. Его объем равен 4. Ответ: 4.

Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, вписанный в прямой цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1? Ответ: 2.

Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.

С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.

Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.

Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.

Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .

1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.

2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.

За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .

кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .

Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .

Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .

При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .

Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.

Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

V = abc

где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.

Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:

V = a 3

где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .

V = abh = (ab)h = Sh .

Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

V = Sh

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?

Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:

h = 324 : 54 = 6 (дм).

Ответ: 6 дм.