Cистемы координат, применяемые в топографии и геодезии. Прямоугольная система координат Координаты в x y

Для определения положения точек в геодезии применяют пространственные прямоугольные, геодезические и плоские прямоугольные координаты.

Пространственные прямоугольные координаты . Начало системы координат расположено в центре O земного эллипсоида (рис. 2.2).

Ось Z направлена по оси вращения эллипсоида к северу. Ось Х лежит в пересечении плоскости экватора с начальным - гринвичским меридианом. Ось Y направлена перпендикулярно осям Z и X на восток.

Геодезические координаты . Геодезическими координатами точки являются ее широта, долгота и высота (рис. 2.2).

Геодезической широтой точки М называется угол В , образованный нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через данную точку, и плоскостью экватора.

Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0° до 90° и называется северной или южной. Северную широту считают положительной, а южную - отрицательной.

Плоскости сечения эллипсоида, проходящие через ось OZ , называются геодезическими меридианами .

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L , образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического меридиана и геодезического меридиана данной точки.

Долготы отсчитывают от начального меридиана в пределах от 0° до 360° на восток, или от 0° до 180° на восток (положительные) и от 0° до 180° на запад (отрицательные).

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью земного эллипсоида.

Геодезические координаты с пространственными прямоугольными координатами связаны формулами

X = (N + H )cosB cosL ,

Y = (N+H )cosB sinL ,

Z = [(1 - e 2 ) N+H ] sinB ,

где e - первый эксцентриситет меридианного эллипса и N -радиус кривизны первого вертикала.При этом N=a/ (1 - e 2 sin 2 B ) 1/2 .

Геодезические и пространственные прямоугольные координаты точек определяют с помощью спутниковых измерений, а также путем их привязки геодезическими измерениями к точкам с известными координатами.

Отметим, что наряду с геодезическими существуют еще астрономические широта и долгота. Астрономическая широта j это - угол, составленный отвесной линией в данной точке с плоскостью экватора. Астрономическая долгота l - угол между плоскостями Гринвичского меридиана и проходящего через отвесную линию в данной точке астрономического меридиана. Астрономические координаты определяют на местности из астрономических наблюдений.

Астрономические координаты отличаются от геодезических потому, что направления отвесных линий не совпадают с направлениями нормалей к поверхности эллипсоида. Угол между направлением нормали к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке земной поверхности называется уклонением отвесной линии .

Обобщением геодезических и астрономических координат является термин - географические координаты .

Плоские прямоугольные координаты . Для решения задач инженерной геодезии от пространственных и геодезических координат переходят к более простым - плоским координатам, позволяющим изображать местность на плоскости и определять положение точек двумя координатами х и у .

Поскольку выпуклую поверхность Земли изобразить на плоскости без искажений нельзя, введение плоских координат возможно только на ограниченных участках, где искажения так малы, что ими можно пренебречь. В России принята система прямоугольных координат, основой которой является равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса . Поверхность эллипсоида изображается на плоскости по частям, называемым зонами. Зоны представляют собой сферические двуугольники, ограниченные меридианами, и простирающиеся от северного полюса до южного (рис. 2.3). Размер зоны по долготе равен 6°. Центральный меридиан каждой зоны называется осевым. Нумерация зон идет от Гринвича к востоку.

Долгота осевого меридиана зоны с номером N равна:

l 0 = 6°× N - 3° .

Осевой меридиан зоны и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями (рис. 2.4). Осевой меридиан принимают за ось абсцисс x , а экватор - за ось ординат y. Их пересечение (точка O ) служит началом координат данной зоны.

Чтобы избежать отрицательных значений ординат, координаты пересечения принимают равными x 0 = 0, y 0 = 500 км, что равносильно смещению оси х к западу на 500 км.

Чтобы по прямоугольным координатам точки можно было судить, в какой зоне она расположена, к ординате y слева приписывают номер координатной зоны.

Пусть например, координаты точки А имеют вид:

x А = 6 276 427 м

y А = 12 428 566 м

Эти координаты указывают на то, что точка А находится на расстоянии 6276427 м от экватора, в западной части (y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.

Для пространственных прямоугольных , геодезических и плоских прямоугольных координат в России принята единая система координат СК-95, закрепленная на местности пунктами государственной геодезической сети и построенная по спутниковым и наземным измерениям по состоянию на эпоху 1995 г.

Местные системы прямоугольных координат. При строительстве различных объектовчасто используют местные (условные) системы координат, в которых направления осей и начало координат назначают, исходя из удобства их использования в ходе строительства и последующей эксплуатации объекта.

Так , при съемке железнодорожной станции ось у направляют по оси главного железнодорожного пути в направлении возрастания пикетажа, а ось х - по оси здания пассажирского вокзала.

При строительстве мостовых переходов ось х обычно совмещают с осью моста, а ось y идет в перпендикулярном направлении.

При строительстве крупных промышленных и гражданских объектов оси x и y направляют параллельно осям строящихся зданий.

1.10. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА КАРТАХ

Прямоугольные координаты (плоские) - линейные величины: абсцисса Х и ордината Y , определяющие положение точек на плоскости (на карте) относительно двух взаимно перпендикулярных осей Х и Y (рис. 14). Абсцисса Х и ордината Y точки А- расстояния от начала координат до оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на соответствующие оси, с указанием знака.

Рис. 14. Прямоугольные координаты

В топографии и геодезии, а также на топографических картах ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки, поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат, принятое в математике, повернуто на 90°.

Прямоугольные координаты на топографических картах СССР применяются по координатным зонам. Координатные зоны - части земной поверхности, ограниченные меридианами с долготой, кратной 6°. Первая зона ограничена меридианами 0° и 6°, вторая-б" и 12°, третья-12° и 18° и т.д.

Счет зон идет от Гринвичского меридиана с запада на восток. Территория СССР располагается в 29 зонах: от 4-й до 32-й включительно. Протяженность каждой зоны с севера на юг порядка 20000 км. Ширина зоны на экваторе около 670 км, на широте 40°- 510 км, т широте 50°-430 км, на широте 60°-340 км.

Все топографические карты в пределах данной зоны имеют общую систему прямоугольных координат. Началом координат в каждой зоне служит точка пересечения среднего (осевого) меридиана зоны с экватором (рис. 15), средний меридиан зоны соответствует

Рис. 15. Система прямоугольных координат на топографических картах: а-одной зоны; б-части зоны

оси абсцисс, а экватор - оси ординат. При таком расположении координатных осей абсциссы точек, расположенных южнее экватора, и ординаты точек, расположенных западнее среднего меридиана, будут иметь отрицательные значения. Для удобства пользования координатами на топографических картах принят условный счет ординат, исключающий отрицательные значения ординат. Это достигнуто тем, что отсчет ординат идет не от нуля, а от величины 500 км, Т. е. начало координат в каждой зоне как бы перенесено на 500 км влево вдоль оси Y . Кроме того, для однозначного определения положение точки по прямоугольным координатам на земном шаре к значению координаты Y слева приписывается номер зоны (однозначное или двузначное число).

Зависимость между условными координатами и их действительными значениями выражается формулами:

X " = Х-, У = У- 500 000,

где X " и Y "- действительные значения ординат; X , Y - условные значения ординат. Например, если точка имеет координаты

Х = 5 650 450: Y = 3 620 840,

то это значит, что точка расположена в третьей зоне на удалении 120 км 840 м от среднего меридиана зоны (620840-500000) и к северу от экватора на удалении 5650 км 450 м.

Полные координаты - прямоугольные координаты, записанные (названные) полностью, без каких-либо сокращений. В примере, приведенном выше, даны полные координаты объекта:

Х = 5 650 450; Y = 3620 840.

Сокращенные координаты применяются для ускорения целеука-зания по топографической карте, в этом случае указываются только десятки и единицы километров и метры. Например, сокращенные координаты данного объекта будут:

Х = 50 450; Y = 20 840.

Сокращенные координаты нельзя применять при целеуказании на стыке координатных зон и если район действий охватывает пространство протяженностью более 100 км по широте или долготе.

Координатная (километровая) сетка -сетка квадратов на топографических картах, образованная горизонтальными и вертикальными линиями, проведенными параллельно осям прямоугольных координат через определенные интервалы (табл. 5). Эти линии называются километровыми. Координатная сетка предназначается для определения координат объектов и нанесения на карту объек тов по их координатам, для целеуказания, ориентирования карты, измерения дирекционных углов и для приближенного определения расстояний и площадей.

Таблица 5 Координатные сетки на картах

Масштабы карт	Размеры сторон квадратов		Площади квадратов, кв. km
Масштабы карт	на карте, см	на местности, км	Площади квадратов, кв. km
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

На карте масштаба 1:500 000 координатная сетка полностью не показывается; наносятся только выходы километровых линий по сторонам рамки (через 2 см). При необходимости по этим выходам координатная сетка может быть прочерчена на карте.

Километровые линии на картах подписываются у их зарамочных выходов и у нескольких пересечений внутри листа (рис. 16). Крайние на листе карты километровые линии подписываются полностью, остальные-сокращенно, двумя цифрами (т. е. указываются только десятки и единицы километров). Подписи у горизонтальных линий соответствуют расстояниям от оси ординат (экватора) в километрах. Например, подпись 6082 в правом верхнем углу показывает, что данная линия отстоит от экватора на удалении 6082 км.

Подписи вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первых цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от среднего меридиана на 500 км. Например, подпись 4308 в левом нижнем углу означает: 4 - номер зоны, 308 - расстояние от условного начала координат в километрах.

Дополнительная координатная (километровая) сетка может быть нанесена на топографических картах масштаба 1:25 000, 1:50000, 1:100000 и 1:200000 по выходам километровых линий в смежной западной или восточной зоне. Выходы километровых линий в виде черточек с соответствующими подписями даются на картах, расположенных на протяжении 2° к востоку и западу от граничных меридианов зоны.

рис. 16. Координатная (километровая) сетка на листе карты

Дополнительная координатная сетка предназначается для преобразования координат одной зоны в систему координат другой, соседней, зоны.

На рис. 17 черточки на внешней стороне западной рамки с подписями 81,6082 и на северной стороне рамки с подписями 3693, 94, 95 и т.д. обозначают выходы километровых линий в системе координат смежной (третьей) зоны. При необходимости дополнительная координатная сетка прочерчивается на листе карты путем соединения одноименных черточек на противоположных сторонах рамки. Вновь построенная сетка является продолжением километровой сетки листа карты смежной зоны и должна полностью совпадать (смыкаться) с ней при склейке карты.

Координатная сетка западной (3-й) зоны

Рис. 17. Дополнительная координатная сетка

Координаты - это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве в принятой системе координат. Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, линии или плоскости для отсчета необходимых величин - начало отсчета координат и единицы их исчисления. В топографии и геодезии наиболь¬шее применение получили системы географических, прямоугольных, полярных и биполярных координат.
Географические координаты (рис. 2.8) применяются для определения положения точек поверхности Земли на эллипсоиде (шаре). В этой системе координат исходными являются плоскость начального меридиана и плос¬кость экватора. Меридианом называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Земли.

Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и пер¬пендикулярную земной оси. Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида, называется экватором. Через каждую точку, лежащую на поверхности земного шара, можно провести только один меридиан и только одну параллель.
Географические координаты - это угловые величины: долгота l и широта j.
Географической долготой l называется двугранный угол, заключенный между плоскостью данного меридиана (проходящего через точку В) и плоскостью начального меридиана. За начальный (нулевой) меридиан принят меридиан, проходящий через центр главного зала Гринвичской обсерватории в пределах г. Лондона. Для точки В долгота определяется углом l = WCD. Счет долгот ведут от начального меридиана в обе стороны - на восток и на запад. В связи с этим различают западные и восточные долготы, которые изменяются от 0° до 180°.
Географической широтой j называется угол, составленный плоскостью экватора и отвесной линией, проходящей через данную точку. Если Землю принимать за шар, то для точки В (рис. 2.8) широта j определяется углом DCB. Широты, отсчитываемые от экватора к северу, называются северными, а к югу - южными, они изменяются от 0° на экваторе до 90° на полюсах.
Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, а во втором - геодезическими (L - долгота, B - широта). При астрономических наблюдениях проецирование точек на поверхность относимости осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях - нормалями. Поэтому величины астрономических и геодезических координат отличаются на величину уклонения отвесной линии.
Использование разными государствами различных референц-эллипсоидов приводит к различиям координат одних и тех же пунктов, вычисленных относительно разных исходных поверхностей. Практически это выражается в общем смещении картографического изображения относительно меридианов и параллелей на картах крупного и среднего масштабов.
Прямоугольными координатами называются линейные величины - абсцисса и ордината, определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений.

(рис. 2.9)
В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Исходными направлениями служат две взаимно перпендикулярные линии с началом отсчета в точке их пересечения О.
Прямая ХХ (ось абсцисс) совмещается с направлением меридиана, проходящего через начало координат, или с направлением, параллельным некоторому меридиану. Прямая YY (ось ординат) проходит через точку О перпендикулярную оси абсцисс. В такой системе положение точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат. Положение точки А определяется длиной перпендикуляров Xа и Yа. Отрезок Xа называется абсциссой точки А, а Yа - ординатой этой точки. Прямоугольные координаты обычно выражаются в метрах. Осями абсцисс и ординат участок местности в точке О делится на четыре четверти (рис. 2.9). Название четвертей определяется принятыми обозначениями стран света. Четверти нумеруются по направлению хода часовой стрелки: I - СВ; II - ЮВ; III - ЮЗ; IV - СЗ.
В табл. 2.3 показаны знаки абсцисс Х и ординат Y для точек, находящихся в разных четвертях и даны их названия.

Таблица 2.3
Абсциссы точек, расположенные вверх от начала координат считаются положительными, а вниз от нее - отрицательными, ординаты точек, расположенные вправо - положительными, влево - отрицательными. Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские.
Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются полярными. В данной системе координат производится измерение углов ориентирования. На горизонтальной плоскости (рис. 2.10) через произвольно выбранную точку О, называемую полюсом, проводят прямую ОХ - полярную ось.

Тогда положение любой точки, например, М будет определяться радиусом - вектором r1 и углом направления a1 , а точки N - соответственно r2 и a2. Углы a1 и a2 измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось может располагаться произвольно или совмещаться с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О.
Система биполярных координат (рис. 2.11) представляет собой два выбранных неподвижных полюса О1 и О2 , соединенные прямой - полярной осью. Данная система координат позволяет определить положение точки М относительно полярной оси на плоскости при помощи двух углов b1 и b2, двух радиусов-векторов r1 и r2 или их комбинаций. Если известны прямоугольные координаты точек О1 и О2 , то положение точки М можно вычислить аналитическим способом.

Рис. 2.11

Рис. 2.12
Высоты точек земной поверхности. Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно знать только плановые координаты X, Y или l, j, необходима третья координата - высота точки Н. Высотой точки Н (рис. 2.12) называется расстояние по отвесному направлению от данной точки (А´; В´´) до принятой основной уровенной поверхности MN. Числовое значение высоты точки называется отметкой. Высоты, отсчитываемые от основной уровенной поверхности MN, называют абсолютными высотами (АА´; ВВ´´), а определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности - условными высотами (В´В´´). Разность высот двух точек или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями, проходящими через две любые точки Земли называется относительной высотой (В´В´´) или превышением этих точек h.
В Республике Беларусь принята Балтийская система высот 1977 г. Счет высот ведется от уровенной поверхности, совпадающей со средним уровнем воды в Финском заливе, от нуля Кронштадского футштока.

Вот еще

4.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

В топографии наиболее широкое распространение получили прямоугольные координаты. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные линии - O Х и OY . Эти линии называют осями координат, а точка их пересечения (O ) - началом координат.

Рис. 4.1. Прямоугольные координаты

Положение любой точки на плоскости можно легко определить, если указать кратчайшие расстояния от осей координат до данной точки. Кратчайшими расстояниями являются перпендикуляры. Расстояния по перпендикулярам от осей координат до данной точки называют прямоугольными координатами этой точки. Отрезки, параллельные оси X , называют координатами х А , а параллельные оси Y - координатами у А .
Четверти прямоугольной системы координат нумеруются. Их счет идет по ходу часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс - I, II, III, IV (рис. 4.1).
Прямоугольные координаты, о которых шла речь, применяют на плоскости. Отсюда они получили название плоских прямоугольных координат. Эту систему координат применяют на небольших участках местности, принимаемых за плоскость.

4.2. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

При рассмотрении вопроса «Проекции топографических карт» было отмечено, что поверхность Земли проектируется на поверхность цилиндра, который касается поверхности Земли по осевому меридиану. При этом на цилиндр проектируется не вся поверхность Земли, а лишь часть ее, ограниченная 3° долготы на запад и 3° на восток от осевого меридиана. Поскольку каждая из проекций Гаусса передает на плоскость только фрагмент поверхности Земли, ограниченный меридианами через 6° долготы, то всего на поверхность Земли должно быть составлено 60 проекций (60 зон). В каждой из 60 проекций образуется отдельная система прямоугольных координат.
В каждой зоне осью X является средний (осевой) меридиан зоны, вынесенный западнее на 500 км от своего фактического положения, а осью Y - экватор (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Система прямоугольных координат
на топографических картах

Пересечение вынесенного осевого меридиана с экватором будет началом координат: х = 0, у = 0 . Точка пересечения экватора и фактического осевого меридиана имеет координаты: х = 0, у = 500 км.
В каждой зоне имеется свое начало координат. Счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Первая шестиградусная зона расположена между Гринвичским меридианом и меридианом с восточной долготой 6º(осевой меридиан 3º). Вторая зона - 6º в.д. - 12º в.д (осевой меридиан 9º). Третья зона - 12º в.д. - 18º в.д. (осевой меридиан 15º). Четвертая зона - 18º в.д. - 24º в.д. (осевой меридиан 21º) и т.д.
Номер зоны обозначен в координате у первой цифрой. Например, запись у = 4 525 340 означает, что заданная точка находится в четвертой зоне (первая цифра) на расстоянии 525 340 м от осевого меридиана зоны, вынесенного западнее 500 км.

Чтобы определить номер зоны по географическим координатам, необходимо к долготе, выраженной в целых числах градусов, прибавить 6 и полученную сумму разделить на 6. В результате деления оставляем только целое число.

Пример. Определить номер зоны Гаусса для точки, имеющей восточную долготу 18º10".
Решение. К целому числу градусов долготы 18 прибавляем 6 и сумму делим на 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Наша карта находится в четвертой зоне.

Затруднения при использовании зональной системы координат возникают в тех случаях, когда топографо-геодезические работы проводятся на приграничных участках, расположенных в двух соседних (смежных) зонах. Координатные линии таких зон располагаются под углом друг к другу (рис 4.3).

Для ликвидации возникающих осложнений введена полоса перекрытия зон , в которой координаты точек могут быть вычислены в двух смежных системах. Ширина полосы перекрытия 4°, по 2° в каждой зоне.

Дополнительная сетка на карте наносится лишь в виде выходов ее линий между минутной и внешней рамками. Оцифровка ее является продолжением оцифровки линий сетки смежной зоны. Линии дополнительной сетки подписывают за внешней рамкой листа . Следовательно, на листе карты, расположенном в восточной зоне, при соединении одноименных выходов дополнительной сетки получают километровую сетку западной зоны. Пользуясь этой сеткой, можно определить, например, прямоугольные координаты точки В в системе прямоугольных координат западной зоны, т. е. прямоугольные координаты точек А и В будут получены в одной системе координат западной зоны.

Рис. 4.3. Дополнительные километровые линии на границе зон

На карте масштаба 1:10 000 дополнительная сетка разбивается только на тех листах, у которых восточный или западный меридиан внутренней рамки (рамки трапеции) является границей зоны. На топографических планах дополнительная сетка не наносится.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ-ИЗМЕРИТЕЛЯ

Важным элементом топографической карты (плана) является прямоугольная сетка. На все листы данной 6-градусной зоны сетку наносят в виде рядов линий, параллельных осевому меридиану и экватору (рис. 4.2). Вертикальные линии сетки параллельны осевому меридиану зоны, а горизонтальные - экватору. Счет горизонтальных километровых линий ведется снизу вверх, а вертикальных - слева направо .

Интервалы между линиями на картах масштабов 1:200 000 - 1:50 000 составляют 2 см, 1:25 000 - 4 см, 1:10 000 - 10 см, что соответствует целому числу километров на местности. Поэтому прямоугольную сетку называют еще километровой , а ее линии - километровыми .
Километровые линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные - двумя последними цифрами. Надпись 60 65 (см. рис. 4.4) на одной из горизонтальных линий означает, что эта линия удалена oт экватора на 6065 км (к северу): надпись 43 07 у вертикальной линии означает, что она находится в четвертой зоне и удалена от начала счета ординат к востоку на 307 км. Если около вертикальной километровой линии записано трехзначное число мелкими цифрами, две первые обозначают номер зоны .

Пример. Надо определить по карте прямоугольные координаты точки местности, например, пункта государственной геодезической сети (ГГС) с отметкой 214,3 (рис. 4.4). Сначала записывают (в километрах) абсциссу южной стороны квадрата, в котором находится эта точка (т. е. 6065). Затем с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба определяют длину перпендикуляра Δх = 550 м , опушенного из заданной точки на эту линию. Полученную величину (в данном случае 550 м) добавляют к абсциссе линии. Число 6 065 550 есть абсцисса х пункта ГГС.
Ордината пункта ГГС равна ординате западной стороны того же квадрата (4307 км), сложенной с длиной перпендикуляра Δу = 250 м, измеренного по карте. Число 4 307 250 есть ордината того же пункта.
При отсутствии циркуля-измерителя расстояния измеряют линейкой или полоской бумаги .

х = 6065550, у = 4307250
Рис. 4.4. Определение прямоугольных координат с помощью линейного масштаба

4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТОМЕРА

Координатомер - небольшой угольник с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Деления на координатомер переносят с линейного масштаба карты.
Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий.

х А = 6135 350 у А = 5577 710
Рис. 4.5. Определение прямоугольных координат с помощью координатомера

4.5. НАНЕСЕНИЕ НА КАРТУ ТОЧЕК ПО ЗАДАННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ

Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам, поступают следующим образом: в записи координат находят двузначные числа, которыми сокращенно обозначены линии прямоугольной сетки. По первому числу находят на карте горизонтальную линию сетки, по второму - вертикальную. Их пересечение образует юго-западный угол квадрата, в котором лежит искомая точка. На восточной и западной сторонах квадрата откладывают от его южной стороны два равных отрезка, соответствующих в масштабе карты числу метров в абсциссе х . Концы отрезков соединяют прямой линией и на ней от западной стороны квадрата откладывают в масштабе карты отрезок, соответствующий числу метров в ординате; конец этого отрезка является искомой точкой.

4.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА ПО ГЕОГРАФИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ

Плоские прямоугольные координаты Гаусса х и у весьма сложно связаны с географическими координатами φ (широта) и λ (долгота) точек земной поверхности. Предположим, что некоторая точка А имеет географические координаты φ и λ . Поскольку разность долгот граничных меридианов зоны равна 6°, то соответственно для каждой из зон можно получить долготы крайних меридианов: 1-я зона (0° - 6°), 2-я зона (6° - 12°), 3-я зона (12° - 18°) и т.д. Таким образом, по географической долготе точки А можно определить номер зоны, в которой эта точка находится. При этом долгота λ ос осевого меридиана зоны определится по формуле
λ ос = (6°n - 3°),
в которой n - номер зоны.

Для определения плоских прямоугольных координат х и у по географическим координатам φ и λ воспользуемся формулами, выведенными для референц-эллипсоида Красовского (референц-эллипсоид - фигура, максимально приближенная к фигуре Земли в той ее части, на которой находится данное государство, либо группа государств):

х = 6367558,4969 (φ рад ) − {a 0 − l 2 N}sin φ cos φ (4.1)
у (l) = lNcos φ (4.2)

В формулах (4.1) и (4.2) приняты следующие обозначения:
у(l) - расстояние от точки до осевого меридиана зоны;
l = (λ - λ ос ) - разность долгот определяемой точки и осевого меридиана зоны);
φ рад - широта точки, выраженная в радианной мере;
N = 6399698,902 - cos 2 φ;
а 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
а 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2 φ - 0,1666667;
а 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2 φ) cos 2 φ - 0,04166;
а 5 = 0,0083 - cos 2 φ;
а 6 = (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
у" - расстояние от осевого меридиана отнесенного западнее 500 км.

По формуле (4.1) значение координаты у(l) получают относительно осевого меридиана зоны, т.е. оно может получиться со знаками «плюс» для восточной части зоны или «минус» - для западной части зоны. Для записи координаты y в зональной системе координат необходимо вычислить расстояние до точки от осевого меридиана зоны, отнесенного западнее на 500 км (у "в таблице) , а впереди полученного значения приписать номер зоны. Например, получено значение
у(l) = -303678,774 м в 47 зоне.
Тогда
у = 47 (500000,000 - 303678,774) = 47196321,226 м.
Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL .

Пример . Вычислить прямоугольные координаты точки, имеющей географические координаты:
φ = 47º02"15,0543" с.ш.; λ = 65º01"38,2456" в.д.

В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.1).

Таблица 4.1.

		D	E	F
Параметр	Вычисления	Град

φ (град)	D2+E2/60+F2/3600
φ (рад)	РАДИАНЫ(C3)


Cos 2 φ

№ зоны	ЦЕЛОЕ((D8+6)/6)
λос (град)

l (град)	D11+E11/60+F11/3600
l (рад)	РАДИАНЫ(C12)
	6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612C6^2)C6^2))*C6^2
а 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004C6^2)C6^2))*C6^2
а 4	=(0,25+0,00252C6^2)C6^2-0,04166
а 6	=(0,166C6^2-0,084)C6^2
а 3	=(0,3333333+0,001123C6^2)C6^2-0,1666667
а 5	0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004C6^2)C6^2))*C6^2


	6367558,4969C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17C20)C20)) C20C14)))C5*C6)
	=((1+(C18+C19C20)C20))C13C14*C6
	ОКРУГЛ((500000+C23);3)
	СЦЕПИТЬ(C9;C24)

Вид таблицы после вычислений (таб. 4.2).

Таблица 4.2.


Параметр	Вычисления	Град
φ (град, мин, сек)
φ (градусы)
φ (радианы)


Cos 2 φ
λ (град, мин, сек)
Номер зоны
λос (град)
l (мин, сек)
l (градусы)
l (радианы)

а 0
а 4
а 6
а 3
а 5

4.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПО ПЛОСКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ГАУССА

Для решения данной задачи также используются формулы пересчета, полученные для референц-эллипсоида Красовского.
Предположим, что нам необходимо вычислить географические координаты φ и λ точки А по ее плоским прямоугольным координатам х и у , заданным в зональной системе координат. При этом значение координаты у записано с указанием номера зоны и с учетом переноса осевого меридиана зоны западнее на 500 км.
Предварительно по значению у находят номер зоны, в которой расположена определяемая точка, по номеру зоны определяют долготу λ o осевого меридиана и по расстоянию от точки до отнесенного на запад осевого меридиана находят расстояние у(l) от точки до осевого меридиана зоны (последнее может быть со знаком плюс или минус).
Значения географических координат φ и λ по плоским прямоугольным координатам х и у находят по формулам:
φ = φ х - z 2 b 2 ρ″ (4.3)
λ = λ 0 + l (4.4)
l = zρ″ (4.5)

В формулах (4.3) и (4.5) :
φ х ″= β″ +{50221746 + cos 2 β}10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (Х / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264,8062″ - число секунд в одном радиане
z = У(L) / (Nx сos φx);
N х = 6399698,902 - cos 2 φ х;
b 2 = (0,5 + 0,003369 cos 2 φ х) sin φ х cos φ х;
b 3 = 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ х) cos2 φ х;
b 4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 сos 2 φ х) cos 2 φ х;
b 5 = 0,2 - (0,1667 - 0,0088 сos 2 φ х) cos 2 φ х.

Для вычислений используем электронные таблицы MicrosoftXL .
Пример . Вычислить географические координаты точки по прямоугольным:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.

В таблицу MicrosoftXL вводим исходные данные и формулы (таб. 4.3).

Таблица 4.3.


1		Параметр	Вычисление	Град.	Мин.	Сек.
2	1	х	5213504,619
	2	у	11654079,966
4	3	**№зоны***	ЕСЛИ(C3<1000000; C3/100000;C3/1000000)
5	4	№ зоны	ЦЕЛОЕ(C4)
6	5	*λоос*	C5*6-3
7	6	у"	C3-C5*1000000
8	7	*у(l)*	C7-500000
9	8	ρ″	206264,8062
10	9	β"	C2/6367558,4969*C9
11	10	*β рад*	РАДИАНЫ(C10/3600)
12	11	β		ЦЕЛОЕ (C10/3600)	ЦЕЛОЕ ((C10-D12*3600)/60)	C10-D12* 3600-E12*60
13	12	*Sin β*	SIN(C11)
14	13	*Cos β*	COS(C11)
15	14	*Cos 2 β*	C14^2
16	15	*φ х "*	C10+(((50221746+((293622+ (2350+22C14^2)C14^2))C14^2))) 10^-10C13C14*C9
17	16	*φ х рад*	РАДИАНЫ(C16/3600)
18	17	*φ х*		ЦЕЛОЕ (C16/3600)	ЦЕЛОЕ ((C16-D18*3600)/60)	C16-D18* 3600-E18*60
19	18	*Sin φ.*	SIN(C17)
20	19	*Cos φ х*	COS(C17)
21	20	*Cos 2 φ х*	C20^2
22	21	*N х*	6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612C21)C21))*C21
23	22	*Ν х Cosφ х*	C22*C20
24	23	z	C8/(C22*C20)
25	24	*z 2*	C24^2
26	25	*b 4*	0,25+(0,16161+0,00562C21)C21
27	26	*b 2*	=(0,5+0,003369C21)C19*C20
28	27	*b 3*	0,333333-(0,166667-0,001123C21)C21
29	28	*b 5*	0,2-(0,1667-0,0088C21)C21
30	29		C16-((1-(C26-0,12 C25)C25))C25C27*C9
31	30	φ		=ЦЕЛОЕ (C30/3600)	=ЦЕЛОЕ ((C30-D31*3600)/60)	=C30-D31* 3600-E31*60
32	31	l"	=((1-(C28-C29C25)C25))C24C9
33	32	*l 0*		=ЦЕЛОЕ (C32/3600)	=ЦЕЛОЕ ((C32-D33*3600)/60)	=C32-D33* 3600-E33*60
34	33	λ		C6+D33

Вид таблицы после вычислений (таб. 4.4).

Таблица 4.4.


Параметр	Вычисление	Град.


Номер зоны *
Номер зоны
λоос (град)
у"



β рад



Cos 2 β
φ х "
φ х рад
φ х

Cos φ х
Cos 2 φ х
N х
Ν х Cos φ х

z 2
b 4
b 2
b 3
b 5

φ

l 0
λ

Если вычисления произведены верно, копируем обе таблицы на один лист, скрываем строки промежуточных вычислений и колонку № п/п, а оставляем только строки ввода исходных данных и результатов вычислений. Форматируем таблицу и корректируем названия колонок и столбцов по вашему усмотрению.

Рабочие таблицы могут выглядеть так

Таблица 4.5.

Примечания .
1. В зависимости от требуемой точности можно увеличить или уменьшить разрядность.
2. Количество строк в таблице можно сократить, объединив вычисления. Например, радианы угла не вычислять отдельно, а сразу записать в формулу =SIN(РАДИАНЫ(C3)).
3. Округление в п. 23 табл. 4.1. производим для «сцепления». Число разрядов в округлении 3.
4. Если не изменить формат ячеек в колонках «Град» и «Мин», то нулей перед цифрами не будет. Изменение формата здесь выполнено только для зрительного восприятия (по решению автора) и на результаты вычислений не влияет.
5. Чтобы случайно не повредить формулы, следует защитить таблицу: Сервис / Защитить лист. Перед защитой выделить ячейки для ввода исходных данных, а затем: Формат ячеек / Защита / Защищенная ячейка - убрать галочку.

4.8. СВЯЗЬ ПЛОСКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ

Простота полярной системы координат и возможность ее построения относительно любой точки местности, принимаемой за полюс, обусловили ее широкое применение в топографии. Чтобы связать воедино полярные системы отдельных точек местности, необходимо перейти к определению положения последних в прямоугольной системе координат, которая может быть распространена на значительно большую по площади территорию. Связь между двумя системами устанавливается решением прямой и обратной геодезических задач.
Прямая геодезическая задача состоит в определении координат конечной точки В (рис. 4.4) линии АВ по длине ее горизонтального проложения d , направлению α и координатам начальной точки х А , у А .

Рис. 4.6. Решение прямой и обратной геодезических задач

Так, если принять точку А (рис. 4.4) за полюс полярной системы координат, а прямую АВ - за полярную ось, параллельную оси ОХ , то полярными координатами точки В будут d и α . Необходимо вычислить прямоугольные координаты этой точки в системе ХОУ.

Из рис. 3.4 видно, что х В отличается от х А на величину (х В - х А ) = Δх АВ , а у В отличается от у А на величину (у В - у А ) = Δу АВ . Разности координат конечной В и начальной А точек линии АВ Δх и Δу называют приращениями координат . Приращениями координат являются ортогональные проекции линии АВ на оси координат. Координаты х В и у В могут быть вычислены по формулам:

х В = х А + Δх АВ (4.1)
у В = у А + Δу АВ (4.2)

Значения приращений определяют из прямоугольного треугольника АСВ по заданным d и α, так как приращения Δх и Δу являются катетами этого прямоугольного треугольника:

Δх АВ =d cos α (4.3)
Δу АВ = d sin α (4.4)

Знак приращений координат зависит от угла положения.

Таблица 4.1.

Подставив значение приращений Δх АВ и Δу АВ в формулы (3.1 и 3.2), получим формулы для решения прямой геодезической задачи:

х В = х А + d cos α (4.5)
у В = у А + d sin α (4.6)

Обратная геодезическая задача заключается в определении длины горизонтального проложения d и направления α линии АВ по данным координатам ее начальной точки А (хА, уА) и конечной В (хВ, уВ). Угол направления вычисляется по катетам прямоугольного треугольника:

tg α = (4.7)

Горизонтальное проложение d , определяют по формуле:

d = (4.8)

Для решения прямой и обратной геодезической задачи можно воспользоваться электронными таблицами Microsoft Excel .

Пример .
Задана точка А с координатами: х А = 6068318,25; у А = 4313450,37. Горизонтальное проложение (d) между точкой А и точкой В равно 5248,36 м. Угол между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В (угол положения - α ) равен 30º.

Рассчитать прямоугольные координаты точки В (х В , у В ).

Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.2).

Таблица 4.2.


	Исходные данные
	х А
	у А


	Вычисления
	Δх АВ = d cos α	B4*COS(РАДИАНЫ(B5))
	Δу АВ = d sin α	B4*SIN(РАДИАНЫ(B5))
	х В
	у В

Вид таблицы после вычислений (таб. 4.3) .

Таблица 4.3.


	Исходные данные
	х А
	у А


	Вычисления
	Δх АВ = d cos α
	Δу АВ = d sin α
	х В
	у В

Пример .
Заданы точки А и В с координатами:
х А = 6068318,25; у А = 4313450,37;
х В = 6072863,46; у В = 4313450,37.
Рассчитать горизонтальное проложение d между точкой А и точкой В, а также угол α между северным направлением оси ОХ и направлением на точку В .
Вводим исходные данные и формулы в электронные таблицы Microsoft Excel (таб. 4.4).

Таблица 4.4.


	Исходные данные
	х А
	у А
	х В
	у В
	Вычисления
	Δх АВ
	Δу АВ
		КОРЕНЬ(B7^2+B8^2)
	Тангенс
	Арктангенс
	Градусы	ГРАДУСЫ(B11)
	Выбор	ЕСЛИ(B12<0;B12+180;B12)
	Угол положения (град)	ЕСЛИ(B8<0;B13+180;B13)

Вид таблицы после вычислений (таб. 4.5).

Таблица 4.5.


	Исходные данные
	х А
	у А
	х В
	у В
	Вычисления
	Δх АВ
	Δу АВ

	Тангенс
	Арктангенс
	Градусы
	Выбор
	Угол положения (град)

Если ваши вычисления совпали с вычислениями учебного пособия, скройте промежуточные расчеты, отформатируйте и защитите таблицу.

Видео
Прямоугольные координаты

Вопросы и задания для самоконтроля

Какие величины называют прямоугольными координатами?
На какой поверхности применяют прямоугольные координаты?
В чем заключается суть зональной системы прямоугольных координат?
Назовите номер шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск с координатами: 48°35′ с.ш. 39°20′ в.д.
Рассчитайте долготу осевого меридиана шестиградусной зоны, в которой находится г. Луганск.
Как ведется счет координат х и у в прямоугольной системе координат Гаусса?
Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью циркуля-измерителя.
Объясните порядок определения прямоугольных координат на топографической карте с помощью координатомера.
В чем сущность прямой геодезической задачи?
В чем сущность обратной геодезической задачи?
Какую величину называют приращением координат?
Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Как можно применить в топографии теорему Пифагора о соотношении между сторонами прямоугольного треугольника?

Определение положения точки в пространстве

Итак, положение какой-либо точки в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим точкам. Та точка, относительно которой рассматривается положение других точек, называется точкой отсчете . Мы так же применим и другое наименование точки отсчета – точка наблюдения . Обычно с точкой отсчета (или с точкой наблюдения) связывают какую-либо систему координат , которую и называют системой отсчета. В выбранной системе отсчета положение КАЖДОЙ точки определяется ТРЕМЯ координатами.

Правая декартова (или прямоугольная) система координат

Эта система координат представляет собой три взаимно перпендикулярных направленных прямых, называемых так же осями координат , пересекающихся в одной точке (начале координат). Точка начала координат обычно обозначается буквой О.

Оси координат носят названия:

1. Ось абсцисс – обозначается как OX;

2. Ось ординат – обозначается как OY;

3. Ось аппликат – обозначается как OZ

Теперь объясним, почему эта система координат называется правой. Давайте посмотрим на плоскость XOY с положительного направления оси OZ, например из точки А, как это показано на рисунке.

Предположим, что мы начинаем поворачивать ось OX вокруг точки О. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость XOY из какой-либо точки положительной полуоси OZ (у нас – это точка А), то, при повороте оси OX на 90 против часовой стрелки, её положительное направление совпадет с положительным направлением оси OY.

Такое решение было принято в научном мире, нам же остается принимать это так, как оно есть.

Итак, после того, как мы определились с системой отсчета (в нашем случае – правой декартовой системой координат), положение любой точки описывается через значения её координат или другими словами – через величины проекций этой точки на оси координат.

Записывается это так: A(x, y, z), где x, y, z – и есть координаты точки А.

Прямоугольную систему координат можно представить себе, как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

Следует заметить, что ориентировать прямоугольную систему координат в пространстве можно как угодно, при этом надо выполнить только одно условие – начало координат должно совпадать с центром отсчета (или точкой наблюдения).

Сферическая система координат

Положение точки в пространстве можно описать и другим способом. Предположим, что мы выбрали область пространства, в котором располагается точка отсчета О (или точка наблюдения), и еще нам известно расстояние от точки отсчета до некоторой точки А. Соединим эти две точки прямой ОА. Эта прямая называется радиус-вектором и обозначается, как r . Все точки, имеющие одно и тоже значение радиус-вектора, лежат на сфере, центр которой находится в точке отсчета (или точке наблюдения), а радиус этой сферы равен, соответственно радиус-вектору.

Таким образом, нам становится очевидным, что знание величины радиус-вектора не дает нам однозначного ответа о положении интересующей нас точки. Нужны еще ДВЕ координаты, ведь для однозначного определения местоположения точки количество координат должно равняться ТРЕМ.

Далее мы поступим следующим образом – построим две взаимно перпендикулярные плоскости, которые, естественно, дадут линию пересечения, и эта линия будет бесконечной, потому как и сами плоскости ничем не ограничены. Зададим на этой линии точку и обозначим ее, ну например, как точка О1. А теперь совместим эту точку О1 с центром сферы – точкой О и посмотрим, что получается?

А получается очень интересная картина:

· Как одна, так и другая плоскости будут центральными плоскостями.

· Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы обозначат большие круги

· Один из этих кругов – произвольно, мы назовем ЭКВАТОРОМ , тогда другой круг будет называться ГЛАВНЫМ МЕРИДИАНОМ.

· Линия пересечения двух плоскостей однозначно определит направление ЛИНИИ ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА.

Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

Через центр сферы точку О в плоскости главного меридиана проведем прямую, перпендикулярную линии главного меридиана. Эта прямая носит название ПОЛЯРНАЯ ОСЬ .

Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.

Определение координат точки в пространстве

Теперь рассмотрим процесс определения координат точки в пространстве, а так же дадим наименования этим координатам. Для полноты картины, при определении положения точки, укажем основные направления, от которых производится отсчет координат, а так же положительное направление при отсчете.

1. Задаем положение в пространстве точки отсчета (или точки наблюдения). Обозначим эту точку буквой О.

2. Строим сферу, радиус которой равен длине радиус-вектора точки А. (Радиус-вектор точки А – это расстояние между точками О и А). Центр сферы располагается в точке отсчета О.

3. Задаем положение в пространстве плоскости ЭКВАТОРА, а соответственно плоскости ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Следует напомнить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и являются центральными.

4. Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы определяет нам положение круга экватора, круга главного меридиана, а так же направление линии главного меридиана и полярной оси.

5. Определяем положение полюсов полярной оси и полюсов линии главного меридиана. (Полюса полярной оси – точки пересечение полярной оси с поверхностью сферы. Полюса линии главного меридиана – это точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы).

6. Через точку А и полярную ось строим плоскость, которую назовем плоскостью меридиана точки А. При пересечении этой плоскости с поверхностью сферы получится большой круг, который мы назовем МЕРИДИАНОМ точки А.

7. Меридиан точки А пересечет круг ЭКВАТОРА в некоторой точке, которую мы обозначим, как Е1

8. Положение точки Е1 на экваториальном круге определяется длиной дуги, заключенной между точками М1 и Е1. Отсчет ведется ПРОТИВ часовой стрелки. Дуга экваториального круга, заключенная между точками М1 и Е1 называется ДОЛГОТОЙ точки А. Долгота обозначается буквой  .

Подведем промежуточный итог. На данный момент нам известны ДВЕ из ТРЕХ координат, описывающих положение точки А в пространстве – это радиус-вектор (r) и долгота (). Теперь мы будем определять третью координату. Эта координата определяется положением точки А на ее меридиане. Но вот положение начальной точки, от которой происходит отсчет, однозначно не определено: мы можем начинать отсчет как от полюса сферы (точка Р1), так и от точки Е1, то есть от точки пересечения линий меридиана точки А и экватора (или другими словами – от линии экватора).

В первом случае, положение точки А на меридиане называется ПОЛЯРНЫМ РАССТОЯНИЕМ (обозначается как р ) и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Р1 (или точкой полюса сферы) и точкой А. Отсчет ведется вдоль линии меридиана от точки Р1 к точке А.

Во втором случае, когда отсчет ведется от линии экватора, положение точки А на линии меридиана называется ШИРОТОЙ (обозначается как   и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Е1 и точкой А.

Теперь мы можем окончательно сказать, что положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги полярного расстояния (р)

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , p)

Если пользоваться иной системой отсчета, то положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги широты ()

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , )

Способы измерения дуг

Возникает вопрос – как же нам измерить эти дуги? Самый простой и естественный способ – это провести непосредственное измерение длин дуг гибкой линейкой, и это возможно, если размеры сферы сравнимы с размерами человека. Но как поступить, если это условие не выполнимо?

В этом случае мы прибегнем к измерению ОТНОСИТЕЛЬНОЙ длины дуги. За эталон же мы примем длину окружности, частью которой является интересующая нас дуга. Как это можно сделать?